星露谷物语玛鲁数学题答案揭秘:圆的面积变化率爆料
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在《星露谷物语》中,玛鲁提出的关于圆的面积变化率的数学题,其答案及解题过程如下:
问题描述
圆的周长正以0.5米每分钟的速度增长,那么当半径为4米时,圆的面积变化率是多少?
解题步骤
1、理解题目:
圆的周长与半径的关系C=2πrC = 2\pi rC=2πr,其中CCC是圆的周长,rrr是圆的半径。
圆的面积与半径的关系A=πr2A = \pi r^2A=πr2,其中AAA是圆的面积。
* 圆的周长正以0.5米每分钟的速度增长,即dCdt=0.5 m/mind\frac{C}{dt} = 0.5 \, ext{ m/min}dtdC=0.5m/min。
2、求解半径的增长率:
对周长公式C=2πrC = 2\pi rC=2πr关于时间ttt求导,得到dCdt=2πdrdt\frac{dC}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}dtdC=2πdtdr。
将已知的dCdt=0.5\frac{dC}{dt} = 0.5dtdC=0.5代入上式,解得drdt=0.52π=14π m/min\frac{dr}{dt} = \frac{0.5}{2\pi} = \frac{1}{4\pi} \, ext{ m/min}dtdr=2π0.5=4π1m/min。
3、求解面积的变化率:
对面积公式A=πr2A = \pi r^2A=πr2关于半径rrr求导,得到dAdr=2πrd\frac{A}{dr} = 2\pi rdrdA=2πr。
利用链式法则,面积的变化率可以表示为dAdt=dAdr⋅drdtd\frac{A}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}dtdA=drdA⋅dtdr。
将已知的dAdr=2πrd\frac{dA}{dr} = 2\pi rdrdA=2πr和drdt=14π\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi}dtdr=4π1代入上式,得到dAdt=2πr⋅14π=r2dAdt = 2\pi r \cdot \frac{1}{4\pi} = \frac{r}{2}dtdA=2πr⋅4π1=2r。
4、代入半径值求解:
当半径r=4r = 4r=4米时,面积的变化率为dAdt=42=2 m2/mind\frac{A}{dt} = \frac{4}{2} = 2 \, ext{ m}^2/\text{min}dtdA=24=2m2/min。
答案
当半径为4米时,圆的面积变化率是2平方米每分钟。