星露谷物语玛鲁数学题答案揭秘:圆的面积变化率爆料

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本文目录导读:

  1. 问题描述
  2. 解题步骤
  3. 答案

在《星露谷物语》中,玛鲁提出的关于圆的面积变化率的数学题,其答案及解题过程如下:

问题描述

圆的周长正以0.5米每分钟的速度增长,那么当半径为4米时,圆的面积变化率是多少?

解题步骤

1、理解题目

圆的周长与半径的关系C=2πrC = 2\pi rC=2πr,其中CCC是圆的周长,rrr是圆的半径。

圆的面积与半径的关系A=πr2A = \pi r^2A=πr2,其中AAA是圆的面积。

星露谷物语玛鲁数学题答案揭秘:圆的面积变化率爆料

* 圆的周长正以0.5米每分钟的速度增长,即dCdt=0.5 m/mind\frac{C}{dt} = 0.5 \, ext{ m/min}dtdC​=0.5m/min。

2、求解半径的增长率

对周长公式C=2πrC = 2\pi rC=2πr关于时间ttt求导,得到dCdt=2πdrdt\frac{dC}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}dtdC​=2πdtdr​。

将已知的dCdt=0.5\frac{dC}{dt} = 0.5dtdC​=0.5代入上式,解得drdt=0.52π=14π m/min\frac{dr}{dt} = \frac{0.5}{2\pi} = \frac{1}{4\pi} \, ext{ m/min}dtdr​=2π0.5​=4π1​m/min。

3、求解面积的变化率

对面积公式A=πr2A = \pi r^2A=πr2关于半径rrr求导,得到dAdr=2πrd\frac{A}{dr} = 2\pi rdrdA​=2πr。

星露谷物语玛鲁数学题答案揭秘:圆的面积变化率爆料

利用链式法则,面积的变化率可以表示为dAdt=dAdr⋅drdtd\frac{A}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}dtdA​=drdA​⋅dtdr​。

将已知的dAdr=2πrd\frac{dA}{dr} = 2\pi rdrdA​=2πr和drdt=14π\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi}dtdr​=4π1​代入上式,得到dAdt=2πr⋅14π=r2dAdt = 2\pi r \cdot \frac{1}{4\pi} = \frac{r}{2}dtdA​=2πr⋅4π1​=2r​。

4、代入半径值求解

当半径r=4r = 4r=4米时,面积的变化率为dAdt=42=2 m2/mind\frac{A}{dt} = \frac{4}{2} = 2 \, ext{ m}^2/\text{min}dtdA​=24​=2m2/min。

答案

当半径为4米时,圆的面积变化率是2平方米每分钟。