星露谷物语玛鲁数学题答案揭秘：圆的面积变化率爆料

本文目录导读：

1. 问题描述
2. 解题步骤
3. 答案

在《星露谷物语》中，玛鲁提出的关于圆的面积变化率的数学题，其答案及解题过程如下：

问题描述

圆的周长正以0.5米每分钟的速度增长，那么当半径为4米时，圆的面积变化率是多少？

解题步骤

1、理解题目：

圆的周长与半径的关系C=2πrC = 2\pi rC=2πr，其中CCC是圆的周长，rrr是圆的半径。

圆的面积与半径的关系A=πr2A = \pi r^2A=πr2，其中AAA是圆的面积。

* 圆的周长正以0.5米每分钟的速度增长，即dCdt=0.5　m/mind\frac{C}{dt} = 0.5 \， ext{ m/min}dtdC​=0.5m/min。

2、求解半径的增长率：

对周长公式C=2πrC = 2\pi rC=2πr关于时间ttt求导，得到dCdt=2πdrdt\frac{dC}{dt} = 2\pi \frac{dr}{dt}dtdC​=2πdtdr​。

将已知的dCdt=0.5\frac{dC}{dt} = 0.5dtdC​=0.5代入上式，解得drdt=0.52π=14π　m/min\frac{dr}{dt} = \frac{0.5}{2\pi} = \frac{1}{4\pi} \， ext{ m/min}dtdr​=2π0.5​=4π1​m/min。

3、求解面积的变化率：

对面积公式A=πr2A = \pi r^2A=πr2关于半径rrr求导，得到dAdr=2πrd\frac{A}{dr} = 2\pi rdrdA​=2πr。

利用链式法则，面积的变化率可以表示为dAdt=dAdr⋅drdtd\frac{A}{dt} = \frac{dA}{dr} \cdot \frac{dr}{dt}dtdA​=drdA​⋅dtdr​。

将已知的dAdr=2πrd\frac{dA}{dr} = 2\pi rdrdA​=2πr和drdt=14π\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4\pi}dtdr​=4π1​代入上式，得到dAdt=2πr⋅14π=r2dAdt = 2\pi r \cdot \frac{1}{4\pi} = \frac{r}{2}dtdA​=2πr⋅4π1​=2r​。

4、代入半径值求解：

当半径r=4r = 4r=4米时，面积的变化率为dAdt=42=2　m2/mind\frac{A}{dt} = \frac{4}{2} = 2 \， ext{ m}^2/\text{min}dtdA​=24​=2m2/min。

答案

当半径为4米时，圆的面积变化率是2平方米每分钟。